Исследование динамических характеристик элементов систем автоматического управления (САУ)

Независимо от конкретного исполнения и функционального назначения элементы САУ при исследовании ее динамики представляются в виде динамических звеньев.

Под динамическим звеном понимается математическая модель элемента, объекта или части системы. Если звено представляется дифференциальным уравнением не выше второго порядка, оно называется элементарным:

T₁² х_вых + Т₂х_вых + х_вых =k х_вх+ … .

Из этого уравнения можно получить ряд более простых уравнений, которые характеризуют типовые элементарные динамические звенья: безынерционное, инерционные 1-го и 2-го порядка, колебательное, интегрирующее, дифференцирующее.

Сложное динамическое звено представляет собой совокупность элементарных звеньев. Автоматическая система, включающая в себя бесчисленное множество элементов и объектов, может быть представлена конечным небольшим числом динамических звеньев.

Динамическая характеристика связана с понятием переходного процесса и определяется передаточной функцией, частотной передаточной функцией и переходной функцией.

Передаточной функцией называется отношение изображений по Лапласу выходного и входного воздействий с нулевыми начальными условиями:

.

Частотной передаточной функцией называется отношение изображений по Фурье выходного и входного воздействий с нулевыми начальными условиями:

.

Амплитудная частотная характеристика .

Фазовая частотная характеристика , .

Для анализа элементов САУ строится годограф частной передаточной функции (амплитудно-фазовая частотная характеристика) – геометрическое место точек концов вектора при изменении ω от 0 до ∞.

Переходная функция – это функциональная зависимость выходного воздействия от времени при подаче на вход ступенчатой единичной функции 1 с нулевыми начальными условиями.

Типовые динамические звенья

Безынерционное звено

Безынерционным (усилительным) называется звено, характеризуемое и в статике, и в динамике алгебраическим уравнением:

.

Передаточная функция звена

.

Частотная передаточная функция (рис. 1.1, а), амплитудная частотная характеристика (рис. 1.1, б), фазовая частотная характеристика (рис. 1.1, в), переходная функция звена (рис. 1.1, г).

Рис. 1.1 Частотные характеристики и переходная функция безынерционного звена

Инерционное звено первого порядка

.

Передаточная функция и частотная передаточная функция (рис. 1.2, а)

; .

Амплитудная и фазовая частотные характеристики (рис. 1.2, б, в)

;

.

Переходная функция (рис. 1.2, г)

.

Рис. 1.2 Частотные характеристики и переходная функция инерционного звена первого порядка

Инерционное звено второго порядка

при условии: T₂² – 4T₁² > 0.

Передаточная функция и частотная передаточная функция (рис. 1.3, а)

Рис. 1.3 Частотные характеристики и переходная функция инерционного звена второго порядка

Амплитудная и фазовая частотные характеристики (рис. 1.3, б, в)

;  .

Переходная функция, согласно корням характеристического уравнения

T₁²p² + T₂p + 1 = 0

, имеет вид (рис. 1.3, г):

.

Колебательное звено

при условии: T₂² – 4T₁² < 0.

Рис. 1.4 Частотные характеристики и переходная функция колебательного звена

Интегрирующее звено

.

Передаточная функция и частотная передаточная функция  ; .

Амплитудная и фазовая частотные характеристики  ; .

Переходная функция

h(t) = .

Рис. 1.5 Частотные характеристики и переходная функция интегрирующего звена

Дифференцирующее звено

Характеристики звена:

;

; ;

Рис. 1.6 Частотные характеристики и переходная функция дифференцирующего звена

Исследование динамических характеристик типовых звеньев САР можно провести аналитически с учетом фактических значений параметров K и i или с использованием специальных программ (см. комплекс “Avtomat”).

Для исследования динамических характеристик элементов и объектов САУ необходимо получить численные значения параметров динамических звеньев – коэффициента передачи К (статический параметр) и постоянной времени Т (динамический параметр). Коэффициент передачи можно получить из графика статической характеристики элемента, найденной либо аналитически на основании использования физического закона, описывающего реальный процесс, протекающий в элементе, либо экспериментально. Постоянную времени можно определить расчетным путем или путем выбора приведенных в справочных таблицах значений (как правило, принимаются средние значения).

Исследование динамических характеристик САУ

Передаточные функции автоматических систем

При анализе автоматической системы рассматриваются передаточные функции, относящиеся к самой системе.

Передаточная функция разомкнутой системы – отношение лапласовых изображений выходной величины Xвых к ошибке Х при нулевых начальных условиях,

Передаточная функция замкнутой системы определяется по соответствующему входу.

По заданному воздействию – главный оператор системы;

по возмущению

Частотная передаточная функция САУ

Частотная передаточная функция САУ получается из передаточной функции системы заменой S на iw:

.

Переходный процесс САУ

Переходный процесс может быть вызван двумя причинами: начальным отклонением координат состояния системы и появлением внешнего входного воздействия. Это собственные движения в системе.

Для построения переходного процесса необходимо получить математическую модель САУ.

Исходные дифференциальные уравнения системы составляются двумя методами: общим и с помощью передаточных функций.

Первый метод основан на имеющихся дифференциальных уравнениях элементов системы, записанных в операционной форме. Составляется система уравнений, которая разрешается относительно Xвых:

,

где – характеристический полином, определяющий свободное движение системы; – полином, характеризующий влияние задающего воздействия X3 на выходную величину Xвых; – полином, характеризующий влияние возмущающих воздействий x_f на Xвых.

Систему уравнений можно разрешить относительно ошибки, тогда

.

Допустим, САУ представлена структурной схемой (рис. 2.1).

Рис. 2.1 Структурная схема САУ

Система дифференциальных уравнений:

; ; ;

; .

Использовав метод подстановки, разрешим систему уравнений относительно Xвых:

D(p) = a₀ p⁴ + a₁ p³ + a₂ p² +a₃ p + a₄;

N(p) = c₀ p³ + c₁ p² + c₂ p.

Аналогично можно разрешить систему уравнений относительно ошибки x.

Второй метод основан на передаточных функциях системы.

Необходимо получить передаточную функцию разомкнутой системы

,

где k1, k2, k3, k4 = kобщ k₁ k₂ k₃ k₄ = k_общ.

Передаточная функция управляемого объекта по возмущению

.

Подставив эти выражения в уравнение, разрешенное относительно ошибки, получим:

.

Аналогично составляем уравнения относительно Xвых:

Динамические характеристики САР можно получить аналитически с учетом фактических значений параметров всех звеньев или с использованием специальных программ (см. комплекс “Avtomat”).

Устойчивость САУ

Устойчивость системы – это ее свойство возвращаться в состояние установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие.

Устойчивость – необходимое условие для автоматической системы: 

Прямой способ исследования устойчивости системы заключается в нахождении решения однородного дифференциального уравнения. Переходные процессы носят затухающий характер.

Для упрощения анализа устойчивости находят корни характеристического полинома D(s)=0 . Система является устойчивой, если все вещественные корни и действительные части комплексных корней отрицательны.

Аналитическое нахождение корней полинома возможно до третьего порядка (включительно), а при порядке более третьего используют средства вычислительной техники (см. комплекс “Avtomat”).

Широко распространен метод Найквиста для проверки устойчивости САР. Система устойчива, если годограф частотной характеристики разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1,0i) . Этот метод реализован в программном комплексе “Avtomat”.